ピアノの中央のドの周波数を求める

ピアノの中央のドは何Hzかということを考えていました。

いきなり結論

半音階の各音の周波数を並べると等比数列ができます。
公比は $\sqrt[12]{2}$ = $2^{\frac{1}{12}}$ ≒1.0595です。つまり、ある周波数に1.0595を掛けると半音上がり、1.0595で割ると半音下がります。
中央ドの上のラを440Hzとすると次のようになります。

中央ド	ド♯	レ	レ♯	ミ	ファ	ファ♯	ソ	ソ♯	ラ	ラ♯	シ	ド
261.6Hz	277.2Hz	293.7Hz	311.1Hz	329.6Hz	349.2Hz	370.0Hz	392.0Hz	415.3Hz	440.0Hz	466.2Hz	493.9Hz	523.3Hz

中央ドは上のラの半音9つ下ですので、指数法則により $440 \times 2^{\frac{-9}{12}}$ ≒261.6[Hz]です。

蛇足

公比 $2^{\frac{1}{12}}$ の基数(base)である2は、オクターブの周波数比が1:2であることを表しています。たとえばラ(440Hz)の1オクターブ上のラは880Hzです。
なぜオクターブの周波数比が1:2なのかというと、(1:1を除いて)1:2が最もハモりやすい音程だからだと想像します。
公比 $2^{\frac{1}{12}}$ の指数(exponent)である $\frac{1}{12}$ は、1オクターブを12分割することを表しています。
なぜ1オクターブは半音12個なのかというと、オクターブ(1:2)を、オクターブの次にハモる完全5度(2:3)と、その次にハモる完全4度(3:4)と、さらにその次にハモる長3度(4:5)を含むように分割すると、12分割にならざるを得ないからと想像します。